Mehlala e bonolo e nang le boitšoaro bo rarahaneng ke hore moferefere

K'homphieutha ke sesebelisoa se ntseng se sebelisoa ka ho eketsehileng ke bo-rasaense ho senola liphiri tse patiloeng ka hloko ke tlhaho. Ho etsa mohlala, hammoho le liteko le khopolo, ho fetoha mokhoa oa boraro oa ho ithuta lefats'e.

Lilemong tse tharo tse fetileng, Univesithing ea Silesia, re ile ra qala lenaneo la ho kopanya mekhoa ea lik'homphieutha ho thuto. Ka lebaka leo, ho entsoe lisebelisoa tse ngata tse khahlisang haholo tsa didactic, tse nolofalletsang le ho teba ho ithuta lihlooho tse ngata. Python e khethiloe e le sesebelisoa se seholo, seo, hammoho le matla a lilaebrari tsa saense tse fumanehang, mohlomong ke tharollo e molemo ka ho fetisisa bakeng sa "liteko tsa k'homphieutha" tse nang le li-equations, litšoantšo kapa data. E 'ngoe ea ts'ebetsong e khahlisang haholo ea benche e felletseng ea mosebetsi ke Sage [2]. Ke kopanyo e bulehileng ea sistimi ea algebra ea komporo le puo ea Python, hape e u lumella ho qala hang-hang ho bapala u sebelisa sebatli sa marang-rang le e 'ngoe ea likhetho tse fumanehang ka ts'ebeletso ea leru [3] kapa seva e le 'ngoe ea komporo eo ho eona ho sebelisanang. phetolelo ea sehlooho sena e thehiloe [4] .

Tlhakatlhakano mo tikologong

Lilemong tsa 1st Univesithing ea Oxford, rasaense oa Australia ea bitsoang Robert May o ile a ithuta likarolo tsa theory of demographic dynamics. O ile a akaretsa mosebetsi oa hae pampiring e hlahang koranteng ea Nature tlas'a sehlooho se tsosang takatso "Mehlala e Bonolo ea Mathematical e nang le Matla a Felletseng haholo" [XNUMX]. Ho theosa le lilemo, sengoloa sena e bile e 'ngoe ea libuka tse qotsitsoeng ka ho fetesisa thutong ea thuto ea tikoloho. Ke eng e entseng hore batho ba thahaselle mosebetsi oo?

Bothata ba khale ba matla a baahi ke ho bala palo ea batho ba nakong e tlang ea mofuta o itseng, ho latela boemo ba hona joale. Ho ea ka lipalo, litsamaiso tsa tikoloho li ne li nkoa e le tsona tse bonolo ka ho fetisisa tseo ho tsona bophelo ba moloko o le mong oa baahi bo nkang nako ea selemo. Mohlala o motle ke bongata ba likokoanyana tse nang le metamorphosis e felletseng ka sehla se le seng, joalo ka lirurubele. Nako ka tlhaho e arotsoe ka linako tse ikhethileng2 tse tsamaellanang le potoloho ea bophelo ba baahi. Kahoo, li-equations tse hlalosang tikoloho e joalo ka tlhaho li na le seo ho thoeng ke sona nako e khethehileng, i.e. t = 1,2,3…. Robert May o ile a sebetsana le matla a joalo, har'a lintho tse ling. Ha a beha mabaka, o ile a nolofatsa tikoloho hore e be mofuta o le mong oo palo ea oona e neng e lekana le palo ea batho ba selemong se fetileng. Mohlala ona o tsoa hokae?

Equation e bonolo ka ho fetesisa e hlalosang phetoho ea palo ea batho ke mohlala oa mola:

moo Ni e leng bongata nakong ea i-th, 'me Ni + 1 e hlalosa palo ea baahi sehleng se latelang. Ho bonolo ho bona hore equation e joalo e ka lebisa maemong a mararo. Ha = 1, ho iphetola ha lintho ho ke ke ha fetola boholo ba baahi, 'me <1 e lebisa ho timela,' me nyeoe ea > 1 e bolela kholo e sa lekanyetsoang ea baahi. Sena se tla lebisa ho se leka-lekaneng ka tlhaho. Kaha ntho e 'ngoe le e 'ngoe ea tlhaho e lekanyelitsoe, hoa utloahala ho lokisa equation ena ho ikarabella bakeng sa palo e fokolang ea lisebelisoa. Ak'u nahane hore likokoanyana li ja lijo-thollo, tseo selemo le selemo li tšoanang hantle. Haeba likokoanyana li fokola ha li bapisoa le bongata ba lijo tseo li ka ikatisang ka tsona, li ka ikatisa ka matla a feletseng a ho ikatisa, ka lipalo tse khethiloeng ke kamehla a > 1. Leha ho le joalo, ha palo ea likokoanyana e ntse e eketseha, lijo li tla haella ’me matla a ho ikatisa a tla fokotseha. Boemong bo boima, motho a ka nahana hore likokoanyana tse ngata li tsoaloa hoo li jang lijo-thollo tsohle pele li e-ba le nako ea ho ikatisa, 'me baahi ba shoa. Mohlala o nahanelang phello ena ea phihlello e fokolang ea lijo e ile ea hlahisoa pele ke Verhulst ka 1838. Moetsong ona, sekhahla sa kholo ha se tsitse, empa se ipapisitse le boemo ba baahi:

Kamano pakeng tsa sekhahla sa kholo a le Ni e lokela ho ba le thepa e latelang: haeba palo ea baahi e eketseha, sekhahla sa kholo se lokela ho fokotseha hobane ho fumana lijo ho thata. Ha e le hantle, ho na le mesebetsi e mengata e nang le thepa ena: tsena ke mesebetsi e holimo holimo. Verhulst o hlahisitse likamano tse latelang:

moo a>0 le kamehla K>0 li khethollang mehloli ea lijo 'me li bitsoa bokhoni ba tikoloho. Phetoho ea K e ama sekhahla sa keketseho ea baahi joang? Haeba K e eketseha, Ni/K ea fokotseha. Ka lehlakoreng le leng, sena se lebisa tabeng ea hore 1-Ni / K e ntse e hōla, e bolelang hore e ntse e hōla. Sena se bolela hore sekhahla sa kholo se ntse se eketseha 'me palo ea baahi e ntse e eketseha ka potlako. Kahoo ha re fetoleng mohlala o fetileng (1) ka ho nka hore sekhahla sa kholo se fetoha joalo ka equation (3). Ebe re fumana equation

Equation ena e ka ngoloa joalo ka equation e iphetang

moo xi = Ni / K le xi + 1 = Ni + 1 / K e bolela palo ea baahi e fokolitsoeng ka nako ke + 1. Equation (5) e bitsoa equation ea lintho.

Ho ka 'na ha bonahala eka ka phetoho e nyenyane joalo, mohlala oa rona o bonolo ho o hlahloba. Ha re e hlahlobeng. Nahana ka equation (5) bakeng sa paramethara a = 0.5 ho tloha ho palo ea batho ba qalang x0 = 0.45. Maemo a tatellano a baahi a ka fumanoa ho sebelisoa equation e pheta-phetoang (5):

x₁= selepe₀(1 leq₀)

x₂= selepe₁(1 leq₁)

x₃= selepe₂(1 leq₂)

Ho thusa lipalo ho (6), re ka sebelisa lenaneo le latelang (le ngotsoe ka Python 'me le ka tsamaisoa, har'a lintho tse ling, sethaleng sa Sage. Re khothaletsa hore u bale buka http://icse.us.edu .pl/e-book . ), re etsisa mohlala oa rona:

= 0.5 x = 0.45 bakeng sa 'na (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      hatisa x

Re bala litekanyetso tse latellanang tsa xi mme re hlokomela hore li na le zero. Ka ho leka khoutu e kaholimo, ho bonolo hape ho bona hore sena ke 'nete ho sa tsotelehe boleng ba pele ba x0. Sena se bolela hore baahi ba lula ba e-shoa.

Mokhahlelong oa bobeli oa tlhahlobo, re eketsa boleng ba parameter a ho boleng leha e le bofe boemong ba ae (1,3). Hoa bonahala hore joale tatellano xi e ea tekanyong e itseng x * > 0. Ha re hlalosa sena ho latela pono ea ecology, re ka re boholo ba baahi bo behiloe boemong bo itseng, bo sa fetoheng ho tloha ho nako ho ea ho nako. . Ke habohlokoa ho hlokomela hore boleng ba x * ha bo itšetlehe ka boemo ba pele x0. Sena ke phello ea ts'ebetso ea tikoloho ea ho leka ho tsitsisa - palo ea batho e fetola boholo ba eona ho bokhoni ba ho iphepa. Ho ea ka lipalo, ho boleloa hore tsamaiso e atisa ho ba le ntlha e tsitsitseng e tsitsitseng, i.e. ho khotsofatsa tekano x = f(x) (sena se bolela hore motsotsong o latelang boemo bo tšoana le motsotso o fetileng). Ka Sage, re ka bona phetoho ena ka mokhoa o hlakileng ka ho rera palo ea batho ka nako.

Phello e joalo ea botsitso e ne e lebeletsoe ke bafuputsi, 'me equation ea thepa (5) e ka be e sa ka ea khahla tlhokomelo e ngata haeba e ne e se ka taba e makatsang. Ho ile ha fumaneha hore bakeng sa litekanyetso tse itseng tsa parameter, mohlala (5) o itšoara ka tsela e sa lebelloang. Taba ea pele, ho na le linaha tsa periodic le multiperiodic. Taba ea bobeli, ka mohato o mong le o mong, palo ea batho e fetoha ka mokhoa o sa tsitsang, joalo ka motsamao o sa reroang. Ea boraro, ho na le kutloelo-bohloko e kholo ho maemo a pele: linaha tse peli tse batlang li sa khethollehe tsa pele li lebisa phetohong e fapaneng ka ho felletseng ea baahi. Likarolo tsena kaofela ke litšoaneleho tsa boitšoaro bo ts'oanang le motsamao o sa reroang ka botlalo mme o bitsoa moferefere oa deterministic.

Ha re hlahlobeng thepa ena!

Taba ea pele, a re beheng boleng ba paramethara a = 3.2 mme re shebe ho iphetola ha lintho. Ho ka 'na ha bonahala ho makatsa hore lekhetlong lena palo ea baahi ha e fihlele boleng bo le bong, empa e le tse peli, tse hlahang ka tatellano nako e' ngoe le e 'ngoe ea bobeli. Leha ho le joalo, ho ile ha fumaneha hore mathata ha aa ka a fella moo. Ka = 4, tsamaiso ha e sa lebelloa. Ha re shebeng setšoantšo sa (2) kapa re tla iketsetsa tatellano ea linomoro ka borona re sebelisa komporo. Liphetho li bonahala li sa fetohe ebile li fapane haholo ho batho ba qalang ba fapaneng hanyane. Leha ho le joalo, 'mali ea hlokolosi o tlameha ho hanyetsa. Sistimi e hlalosoang ke deterministic equation1, leha e le e bonolo haholo, e ka sebetsa ka mokhoa o sa lebelloang joang? Ho lokile, mohlomong.

Tšobotsi e 'ngoe ea tsamaiso ena ke kutloisiso ea eona e tsotehang ho maemo a pele. Ho lekane ho qala ka maemo a mabeli a pele a fapaneng ka milione e le 'ngoe,' me ka mehato e seng mekae feela re tla fumana litekanyetso tse fapaneng ka ho feletseng tsa baahi. Ha re shebe komporong:

a = 4.0

x = 0.123 u=0.123+0.000001 PKC = [] bakeng sa 'na (25): x = a*x*(1-x) u = a*u*(1-u) hatisa x, y

Mona ke mohlala o bonolo oa ho iphetola ha lintho. Empa determinism ena ea thetsa, ke feela lipalo tsa lipalo. Ho ea ka pono e sebetsang, tsamaiso e itšoara ka tsela e sa lebelloang hobane ha ho mohla re ka behang maemo a pele ka lipalo hantle. Ha e le hantle, ntho e 'ngoe le e' ngoe e ikemiselitsoe ka ho nepahala ho itseng: sesebelisoa se seng le se seng sa ho lekanya se na le ho nepahala ho itseng, 'me sena se ka baka ho se tsejoe hantle ka mokhoa o sebetsang tsamaisong ea deterministic e nang le thepa ea moferefere. Mohlala ke mehlala ea bolepi ba leholimo, e lulang e bonts'a thepa ea moferefere. Ke kahoo bolepi ba leholimo ba nako e telele bo leng bobe hakana.

Ho hlahlojoa ha litsamaiso tse ferekaneng ho thata haholo. Leha ho le joalo, re ka rarolla liphiri tse ngata tsa moferefere habonolo ka thuso ea lipapiso tsa k'homphieutha. A re ke re toroeng seo ho thoeng ke setšoantšo sa bifurcation, moo re behang boleng ba paramente haufi le abscissa axis, le lintlha tse tsitsitseng tsa 'mapa oa thepa haufi le axis e kopanetsoeng. Re fumana lintlha tse tsitsitseng ka ho etsisa palo e kholo ea litsamaiso ka nako e le 'ngoe le ho rera boleng ka mor'a makhetlo a mangata a sampole. Joalokaha u ka nahana, sena se hloka lipalo tse ngata. Ha re leke ho "sebetsa ka hloko" lintlha tse latelang:

kenya numpy joalo ka np Nx = 300 Seo = 500 x = np.linspace(0,1, nx) х = х + np.zeros((Na,Nx)) h = np.transpose (h) a=np.linspace(1,4,Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) bakeng sa 'na (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] bakeng sa_,x_ ka zip(a.flatten(),x.flatten())] ntlha (pt, boholo = 1, figsize = (7,5))

Re lokela ho fumana ntho e tšoanang le setšoantšo (3). Mokhoa oa ho hlalosa setšoantšo see? Ka mohlala, ka boleng ba parameter = 3.3, re na le lintlha tse tsitsitseng tse 2 tse tsitsitseng (boholo ba baahi bo tšoana le nako ea bobeli). Leha ho le joalo, bakeng sa parameter a = 3.5 re na le lintlha tse 4 tse tsitsitseng (nako e 'ngoe le e' ngoe ea bone palo ea baahi e na le boholo bo lekanang), 'me bakeng sa parameter e = 3.56 re na le lintlha tse 8 tse tsitsitseng (nako e 'ngoe le e' ngoe ea borobeli palo ea baahi e na le boholo bo lekanang). Empa bakeng sa paramethara a≈3.57, re na le lintlha tse ngata tse tsitsitseng (boholo ba baahi ha bo phete hape bo fetoha ka litsela tse sa lebelloang). Leha ho le joalo, ka lenaneo la k'homphieutha, re ka fetola boholo ba parameter a le ho hlahloba sebopeho se sa feleng sa geometri sa setšoantšo sena ka matsoho a rona.

Ena e mpa e le ntlha feela ea leqhoa. Ho ngotsoe lipampiri tse likete tsa saense mabapi le equation ena, empa e ntse e pata liphiri tsa eona. Ka thuso ea papiso ea khomphutha, u ka khona, ntle le ho sebelisa lipalo tse phahameng, ho bapala pula-maliboho oa lefats'e la matla a sa tsitsang. Re u mema hore u bale mofuta oa marang-rang o nang le lintlha tse mabapi le lintho tse ngata tse khahlisang tsa equation ea thepa le mekhoa e khahlisang ea ho li bona ka mahlo a kelello.

¹ Molao oa deterministic ke molao oo bokamoso bo khethiloeng ka mokhoa o ikhethileng ke boemo ba pele. Antonym ke molao oa probabilistic. ² Ho lipalo, "discrete" e bolela ho fumana boleng ho tsoa ho sete e itseng e ka baloang. Se fapaneng ke "tswelapele".